Kukk wurde 1940 in Pärnu (Pernau) geboren. 1958 musste er wegen sogenannter „irriger politischer Ansichten“ die Höhere Schule in Mõisaküla (Kreis Viljandi) verlassen und beendete seine Schullaufbahn im benachbarten Abja. 1963 schloss er an der Universität Tartu (Dorpat) sein Chemiestudium ab. Im Anschluss daran leistete er seinen Militärdienst in der Turkmenischen SSR. Nach seiner Rückkehr im Dezember 1965 trat er in die KPdSU ein und arbeitete als Oberassistent an der Fakultät für Anorganische Chemie der Universität Tartu. 1974 wurde er Dozent, verbrachte ein Jahr in Frankreich und publizierte mehr als 20 wissenschaftliche Arbeiten.
Seit 1978 brachte er seine oppositionellen Ansichten offen zum Ausdruck und trat aus der Partei aus. Am 20. September 1979 wurde er auf Betreiben des KGB der Hochschule verwiesen. Daraufhin bemühte er sich um eine Ausreisegenehmigung nach Frankreich.
Er setzte sich dafür ein, Menschenrechtsverletzungen durch die Sowjetbehörden aufzudecken und unterzeichnete Protestbriefe baltischer Menschenrechtsaktivisten: die Petition gegen den Einmarsch sowjetischer Truppen in Afghanistan vom 17. Januar 1980, den Appell an das Internationale Olympische Komitee vom 28. Januar 1980 sowie den Protest vom 3. Februar 1980 gegen die Verbannung von Andrei Sacharow. Auch unterhielt Kukk Kontakte zu in Moskau akkreditierten westlichen Journalisten und versorgte sie mit Informationen über die Situation in Estland.
Am 13. März 1980 wurde er verhaftet und im Sommer desselben Jahres zweimal in der Leningrader Psychiatrie Nr. 5 und im Moskauer Serbski-Institut einer psychiatrischen Untersuchung ausgesetzt, aufgrund derer er für unzurechnungsfähig erklärt wurde. Während der Haft trat er zweimal in Hungerstreik. Mit Wissen und Zustimmung der Gefängnisbehörden wurde er von Mitgefangenen geschlagen.
Am 8. Januar 1981 verurteilte ihn das Oberste Gericht der Estnischen SSR nach Artikel 194, Paragraf 1 Strafgesetzbuch der ESSR (siehe Artikel 190, Paragraf 1 Strafgesetzbuch der RSFSR) zu zwei Jahren Freiheitsentzug. Kukk und der mit ihm verurteilte Mart-Olav Niklus lehnten die Teilnahme am Prozess ab und bekannten sich nicht schuldig.
Anfangs verbüßten sie ihre Strafe in einem gewöhnlichen Lager in Tallinn. Kukk trat in einen 40-tägigen Hungerstreik; zehn Tage davon verbrachte er in einer Strafzelle. Am 2. März 1981 wurde er trotz seines laufenden Hungerstreiks ins Innere der Sowjetunion transportiert. Wegen seines schlechten Gesundheitszustands wies man ihn in das Gefängniskrankenhaus in Wologda ein. Dort starb Jüri Kukk am 27. März.
Die Privataufnahmen zeigen Jüri Kukk während eines Auslandsaufenthaltes in Paris und sein Grab in Wologda (Russland), wo er am 27. März 1981 in der Haft gestorben war.
Am 5. April 1981 fand in Moskau ein Treffen von Literaten statt, um an Kukk zu erinnern. Am 1. Mai desselben Jahres richtete eine Gruppe von estnischen Bürgern eine Erklärung an das Präsidium des Obersten Sowjets der Sowjetunion, in der es hieß: „Kukks Tod ist ein Ereignis, das unter seinen zahlreichen Freunden und Schülern Protest hervorruft […] Wäre Kukk der Verleumdung fähig? Verleumdung entspringt Verrat, und der widersprach seiner Natur. Er gehörte zu den Wenigen, die in der Lage waren, die Wahrheit zu sagen und dafür mit dem Leben zu bezahlen. Er war klaren Verstandes und reinen Herzens. Unter Tausenden gewöhnlichen Leuten, die niemand der Verleumdung anklagt, findet sich keiner wie er, der in der Lage wäre und es wagen würde, so viel zu tun.“
„Der estnische Freiheitskämpfer und Opfer des KGB Jüri Kukk (1. Mai 1940–27. März 1981) starb in einer sowjetischen Strafkolonie“: Das zweisprachige Protestplakat wurde von Mati Kiirendi am 1. Mai 1989 bei einer Demonstration im Tallinner Tammsaare-Park gezeigt.
Am 25. November 1989 wurden Kukks sterbliche Überreste schließlich in Estland auf dem Friedhof in Kursi beigesetzt. Seit 1997 wird in Tartu alljährlich an seinem Todestag mit einer Konferenz an ihn erinnert. 1999 entstand das Internationale Jüri Kukk-Zentrum zur Erinnerung an die Freiheitskämpfer.